Графики движения гипертекст по физике

Графики движения.

Обсуждение.

введение.

Современные математические обозначения — это очень компактный способ кодирования идей. Уравнения могут легко содержать информационный эквивалент нескольких предложений. Описание Галилеем объекта, движущегося с постоянной скоростью (возможно, первое применение математики к движению), потребовало одного определения, четырех аксиом и шести теорем. Все эти отношения теперь можно записать в одно уравнение.

v = ∆ s ∆ t.

Когда дело доходит до глубины, ничто не сравнится с уравнением.

Ну почти ничего. Вернитесь к предыдущему разделу об уравнениях движения. Вы должны помнить, что три (или четыре) уравнения, представленные в этом разделе, действительны только для движения с постоянным ускорением по прямой. Поскольку, как я правильно заметил, "ни один объект никогда не двигался по прямой с постоянным ускорением в любом месте Вселенной в любое время" эти уравнения верны только приблизительно, только время от времени.

Уравнения отлично подходят для описания идеализированных ситуаций, но они не всегда помогают. Иногда вам нужна картинка, чтобы показать, что происходит, — математическая картинка, называемая графиком. Графики часто являются лучшим способом передать описания реальных событий в компактной форме. Графики движения бывают нескольких типов в зависимости от того, какие кинематические величины (время, положение, скорость, ускорение) присвоены какой оси..

позиция-время.

Начнем с графического представления некоторых примеров движения с постоянной скоростью. На графике справа показаны три разные кривые, каждая с начальным положением нуля. Прежде всего, обратите внимание, что графики все прямые. (Любая линия, нарисованная на графике, называется кривой. Даже прямая линия называется кривой в математике.) Этого следовало ожидать, учитывая линейный характер соответствующего уравнения. (Независимая переменная a возводится не выше первой степени.)

Сравните уравнение положения-времени для постоянной скорости с классическим уравнением пересечения наклона, которое преподается во вводной алгебре..

s = s 0 + v ∆ t y = a + bx.

Таким образом, скорость соответствует наклону, а начальное положение — точке пересечения на вертикальной оси (обычно называемой "y" ось). Поскольку каждый из этих графов имеет точку пересечения в начале координат, каждый из этих объектов имеет одинаковую начальную позицию. Этот график может представлять собой своего рода гонку, в которой все участники выстроились в линию на стартовой линии (хотя на этих скоростях это, должно быть, была гонка между черепахами). Если бы это была гонка, то участники уже двигались, когда гонка началась, поскольку каждая кривая имеет ненулевой уклон на старте. Обратите внимание, что начальное положение, равное нулю, не обязательно означает, что начальная скорость также равна нулю. Высота кривой ничего не говорит о ее наклоне.

На графике положение-время… наклон — это "y" Перехват — это когда две кривые совпадают, два объекта имеют одинаковое положение в это время.

В отличие от предыдущих примеров, давайте изобразим положение объекта с постоянным ненулевым ускорением, начиная с момента покоя в начале координат. Основное отличие этой кривой от кривых на предыдущем графике состоит в том, что эта кривая фактически изгибается. Отношение между положением и временем квадратично, когда ускорение постоянно, и поэтому эта кривая имеет вид a. (Переменная a возводится не выше второй степени.)

s = s 0 + v 0 ∆ t + 1 a ∆ t 2 2 y = a + bx + cx 2.

В качестве упражнения давайте рассчитаем ускорение этого объекта по его графику. Он пересекает начало координат, поэтому его начальное положение равно нулю, в примере указано, что начальная скорость равна нулю, а график показывает, что объект прошел 9 м за 10 с. Эти числа затем можно ввести в уравнение.

Когда график положения-времени изогнут, невозможно вычислить скорость по его наклону. Наклон — это свойство только прямых линий. У такого объекта нет скорости, потому что у него нет наклона. Слова "в" и "а" подчеркнуты здесь, чтобы подчеркнуть идею о том, что в этих обстоятельствах не существует единой скорости. Скорость такого объекта должна изменяться. Это ускоряется.

На графике положение-время… прямые сегменты подразумевают кривые, сегменты подразумевают, что объект проходит через следы части параболы..

Хотя у нашего гипотетического объекта нет единой скорости, у него все же есть средняя скорость и непрерывный набор мгновенных скоростей. Среднюю скорость любого объекта можно найти, разделив общее изменение положения (также известное как смещение) на изменение во времени..

v = ∆ s ∆ t.

Это то же самое, что и вычисление наклона прямой, соединяющей первую и последнюю точки кривой, как показано на диаграмме справа. В этом абстрактном примере средняя скорость объекта была…

v = ∆ s = 9,5 м = 0,95 м / с ∆ t 10,0 с.

Мгновенная скорость — это предел средней скорости при сокращении временного интервала до нуля..

По мере того, как конечные точки линии средней скорости становятся ближе друг к другу, они становятся лучшим индикатором фактической скорости. Когда две точки совпадают, прямая касается кривой. Этот процесс ограничения представлен на анимации справа..

На графике положение-время… наклон прямой линии, соединяющей конечные точки кривой, это наклон линии, касательной к кривой в любой точке.

Семь касательных были добавлены к нашему общему графику положения и времени в анимации, показанной выше. Обратите внимание, что угол наклона равен нулю дважды — один раз в верхней части выступа за 3,0 с и снова в нижней части вмятины за 6,5 с. (Выпуклость — это, а вмятина — это. В совокупности такие точки известны как.) Наклон горизонтальной линии равен нулю, что означает, что объект в то время был неподвижен. Поскольку график не плоский, объект находился в состоянии покоя лишь на мгновение, прежде чем снова начал двигаться. Хотя его положение в то время не менялось, его скорость была. Это понятие, с которым у многих возникают трудности. Можно ускоряться и при этом не двигаться, но только на мгновение.

Отметим также, что наклон отрицательный в интервале между выступом в 3,0 с и вмятиной в 6,5 с. Некоторые интерпретируют это как движение в обратном направлении, но так ли это вообще? Что ж, это абстрактный пример. Это не сопровождается никаким текстом. Графики содержат много информации, но без заголовка или другой формы описания они не имеют смысла. Что представляет собой этот график? Персона? Автомобиль? Лифт? Носорог? Астероид? Пылинка? Почти все, что мы можем сказать, это то, что этот объект сначала двигался, замедлился до остановки, изменил направление, снова остановился, а затем возобновил движение в том направлении, в котором он начал (в каком бы направлении он ни был). Отрицательный уклон не означает автоматически движение назад, ходьбу налево или падение. Выбор знаков всегда произвольный. В общем, все, что мы можем сказать, это то, что когда наклон отрицательный, объект движется в отрицательном направлении..

На графике положение-время… положительный наклон подразумевает движение в положительном направлении, отрицательный наклон подразумевает движение в отрицательном направлении, нулевой наклон подразумевает состояние покоя..

скорость-время.

Самое важное, что нужно помнить о графиках скорость-время, — это то, что это графики скорость-время, а не графики положения-времени. В линейном графике есть что-то такое, что заставляет людей думать, что они смотрят на путь объекта. Распространенная ошибка новичков — смотреть на график справа и думать, что линия v = 9,0 м / с соответствует объекту, который "выше" чем другие объекты. Не думай так. Это не правильно.

Не смотрите на эти графики и не думайте о них как о движущемся объекте. Вместо этого думайте о них как о записи скорости объекта. На этих графиках выше означает быстрее, а не дальше. Линия v = 9,0 м / с выше, потому что этот объект движется быстрее других..

Эти конкретные графики все горизонтальны. Начальная скорость каждого объекта такая же, как конечная скорость такая же, как и каждая промежуточная скорость. Скорость каждого из этих объектов постоянна в течение этого десятисекундного интервала..

Для сравнения, когда кривая на графике скорость-время прямая, но не горизонтальная, скорость меняется. Каждая из трех кривых справа имеет разный наклон. График с самым крутым наклоном испытывает наибольшую скорость изменения скорости. Этот объект имеет наибольшее ускорение. Сравните уравнение скорости-времени для постоянного ускорения с классическим уравнением пересечения наклона, которое преподается во вводной алгебре..

v = v 0 + a ∆ t y = a + bx.

Вы должны увидеть, что ускорение соответствует наклону, а начальная скорость — точке пересечения на вертикальной оси. Поскольку каждый из этих графов имеет точку пересечения в начале координат, каждый из этих объектов изначально находился в состоянии покоя. Однако начальная скорость, равная нулю, не означает, что начальное положение также должно быть нулевым. Этот график ничего не говорит нам о начальном положении этих объектов. Насколько мы знаем, они могут быть на разных планетах.

На графике скорость-время… наклон — это "y" пересечение — это когда две кривые совпадают, два объекта имеют одинаковую скорость в это время.

Кривые на предыдущем графике были прямыми линиями. Прямая линия — это кривая с постоянным наклоном. Поскольку наклон — это ускорение на графике скорость-время, каждый из объектов, представленных на этом графике, движется с постоянным ускорением. Если бы графики были изогнутыми, ускорение не было бы постоянным..

На графике скорость-время… прямые линии подразумевают, что изогнутые линии подразумевают, что объект движется по прямой линии..

Поскольку у изогнутой линии нет единого наклона, мы должны решить, что мы имеем в виду, когда спрашиваем об ускорении объекта. Эти описания вытекают непосредственно из определений среднего и мгновенного ускорения. Если требуется среднее ускорение, нарисуйте линию, соединяющую конечные точки кривой, и вычислите ее наклон. Если требуется мгновенное ускорение, возьмите предел этого наклона по мере сокращения временного интервала до нуля, то есть возьмите наклон касательной.

На графике скорость-время… это наклон прямой, соединяющей концы кривой a = ∆ v ∆ t.

Семь касательных были добавлены к нашему общему графику скорость-время в анимации, показанной выше. Обратите внимание, что угол наклона равен нулю дважды — один раз в верхней части выступа за 3,0 с и снова в нижней части вмятины за 6,5 с. Наклон горизонтальной линии равен нулю, что означает, что в это время объект мгновенно прекращает ускорение. В эти два момента ускорение могло быть нулевым, но это не означает, что объект остановился. Для этого кривая должна пересекать горизонтальную ось. Это произошло только один раз — в начале графика. В обоих случаях, когда ускорение было нулевым, объект все еще двигался в положительном направлении..

Вы также должны заметить, что наклон был отрицательным от 3,0 до 6,5 с. За это время скорость снижалась. Однако в целом это не так. Скорость уменьшается всякий раз, когда кривая возвращается в исходное положение. Выше горизонтальной оси это будет отрицательный наклон, а ниже — положительный. Об отрицательном наклоне графика скорость-время можно сказать только то, что в течение такого интервала скорость становится более отрицательной (или менее положительной, если хотите)..

На графике скорость-время… положительный наклон означает увеличение скорости в положительном направлении, отрицательный наклон означает увеличение скорости в отрицательном направлении, нулевой наклон означает движение с.

В кинематике есть три величины: положение, скорость и ускорение. Имея график любой из этих величин, всегда можно в принципе определить две другие. Ускорение — это скорость изменения скорости во времени, поэтому ее можно определить по наклону касательной к кривой на графике скорость-время. Но как определить позицию? Давайте рассмотрим несколько простых примеров, а затем выведем связь.

Начните с простого графика скорость-время, показанного справа. (Для простоты предположим, что начальная позиция равна нулю.) На этом графике есть три важных интервала. В течение каждого интервала ускорение остается постоянным, как показывают отрезки прямой линии. Когда ускорение постоянное, средняя скорость — это просто среднее значение начального и конечного значений в интервале.

0–4 с: этот сегмент треугольный. Площадь a составляет половину основания, умноженного на высоту. По сути, мы только что вычислили площадь треугольного сегмента на этом графике..

∆ s = v ∆ t ∆ s =? (V + v 0) ∆ t ∆ s =? (8 м / с) (4 с) ∆ s = 16 м.

Суммарное расстояние, пройденное в конце этого интервала, составляет…

4–8 с: этот сегмент трапециевидный. Площадь a (или) — это среднее значение двух оснований, умноженное на высоту. По сути, мы только что вычислили площадь трапециевидного сегмента на этом графике..

∆ s = v ∆ t ∆ s =? (V + v 0) ∆ t ∆ s =? (10 м / с + 8 м / с) (4 с) ∆ s = 36 м.

Суммарное расстояние, пройденное в конце этого интервала, составляет…

16 м + 36 м = 52 м.

8–10 с: этот сегмент прямоугольный. Площадь a равна его высоте, умноженной на ширину. По сути, мы только что вычислили площадь прямоугольного сегмента на этом графике..

∆ s = v ∆ t ∆ s = (10 м / с) (2 с) ∆ s = 20 м.

Суммарное расстояние, пройденное в конце этого интервала, составляет…

16 м + 36 м + 20 м = 72 м.

Я надеюсь, что к настоящему времени вы заметили эту тенденцию. Площадь под каждым сегментом — это изменение положения объекта в течение этого интервала. Это верно, даже если ускорение непостоянно..

Любой, кто прошел курс математического анализа, должен был знать это, прежде чем читать здесь (или, по крайней мере, когда они читали его, они должны были сказать, "О да, я помню это"). Первая производная положения по времени — это скорость. Производная функции — это наклон прямой, касательной к ее кривой в данной точке. Обратная операция производной называется интегралом. Интеграл функции — это совокупная площадь между кривой и горизонтальной осью на некотором интервале. Эта обратная связь между действиями производной (наклон) и интеграла (площадь) настолько важна, что она называется. Это означает, что это важные отношения. Узнать его! Это "фундаментальный". Вы не видели его в последний раз.

На графике скорость-время … область под кривой — это.

время разгона.

График ускорения-времени любого объекта, движущегося с постоянной скоростью, одинаков. Это верно независимо от скорости объекта. Самолет, летящий с постоянной скоростью 270 м / с (600 миль в час), ленивец, идущий с постоянной скоростью 0,4 м / с (1 миль в час), и лежащий на диване картофель, неподвижно лежащий перед телевизором часами, будут иметь одинаковое ускорение. -временные графики — горизонтальная линия, коллинеарная горизонтальной оси. Это потому, что скорость каждого из этих объектов постоянна. Они не ускоряются. Их ускорения равны нулю. Как и в случае с графиками скорость-время, важно помнить, что высота над горизонтальной осью не соответствует положению или скорости, она соответствует ускорению. .

Если вы споткнетесь и упадете по дороге в школу, ваше ускорение к земле будет больше, чем у всех, кроме нескольких высокопроизводительных автомобилей с "педаль газа до упора". Ускорение и скорость — разные величины. Быстрая езда не означает быстрого ускорения. Эти две величины не зависят друг от друга. Большое ускорение соответствует быстрому изменению скорости, но ничего не говорит вам о значениях самой скорости..

Когда ускорение постоянное, кривая времени ускорения представляет собой горизонтальную линию. Скорость изменения ускорения во времени обсуждается нечасто, поэтому наклон кривой на этом графике пока игнорируется. Если вам нравится знать названия вещей, это количество называется. На первый взгляд, единственная информация, которую можно почерпнуть из графика ускорения-времени, — это ускорение в любой момент времени..

На графике ускорение-время… наклон — это "y" пересечение равняется тому, что когда две кривые совпадают, два объекта имеют одинаковое ускорение в то время, когда объект движется по горизонтальной линии, нулевой наклон подразумевает движение с.

Ускорение — это скорость изменения скорости во времени. Преобразование графика скорости-времени в график ускорения-времени означает вычисление наклона линии, касательной к кривой в любой точке. (В расчетах это называется поиском производной.) Обратный процесс влечет за собой расчет совокупной площади под кривой. (В исчислении это называется нахождением интеграла.) Это число представляет собой изменение значения на графике скорость-время..

Учитывая начальную скорость, равную нулю (и предполагая, что падение положительное), конечная скорость человека, падающего на графике справа, равна …

∆ v = a ∆t ∆ v = (9,8 м / с 2) (1,0 с) ∆ v = 9,8 м / с = 22 миль / ч.

а конечная скорость разгоняющейся машины …

∆ v = a ∆t ∆ v = (5,0 м / с 2) (6,0 с) ∆ v = 30 м / с = 67 миль / ч На графике ускорение-время… площадь под кривой равна.

О графиках времени ускорения можно сказать и больше, но по большей части они тривиальны..

фазовое пространство.

Есть четвертый график движения, который связывает скорость с положением. Он так же важен, как и другие три типа, но редко привлекает внимание ниже продвинутого уровня бакалавриата. Когда-нибудь я напишу что-нибудь об этих графиках, называемых диаграммами, но не сегодня.

Похожие статьи